Formules de Newton-Cotes
1. Contexte
On souhaite évaluer l'intégrale d'une fonction f(x) sur un
intervalle [A,B] = [x
0,x
m].
L'intervalle est subdivisé en m sous-intervalles de taille h et les
valeurs y
i = f(x
i) aux points
x
i = x
0+i×h ,
i = 0, ... , m
sont connues.
Etant donné que l'on peut, á l'aide de n points, construire
un polynôme de degré (n-1) et que l'integrale de ce dernier
(sur [x
0,x
n])
peut s'écrire sous la forme d'une somme pondérée
des y
i correspondants, l'évaluation de
l'intégrale de f(x) sur [A,B] se résume de même à
une somme pondérée des y
i.
2. Formules de Newton-Cotes
En écrivant que l'intégrale de f(x) sur
[x
0,x
n] peut s'exprimer
comme une combinaison linéaire des y
i
, on arrive à:
Les valeurs de A et des coefficients a
i sont alors:
Nom usuel de la formule |
n |
A |
a0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
Trapèzes |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Simpson |
2 |
3 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
"Newton-Cotes 3" |
3 |
8 |
3 |
9 |
9 |
3 |
|
|
|
Boole-Villarceau |
4 |
45 |
14 |
64 |
24 |
64 |
14 |
|
|
Hardy |
6 |
140 |
41 |
216 |
27 |
272 |
27 |
216 |
41 |
Remarque:
- La méthode des trapèzes est exacte pour un polynôme
de degré 1; celle de Simpson est exacte pour un polynôme
de degré 3; celle de Boole-Villarceau est exacte pour un
polynôme de degré 5 ...
En fait, pour n pair, la formule de Newton-Cotes est exacte pour un
polynôme de degré n+1, tandis que pour n impair, la formule
est exacte pour un polynôme de degré n.
C'est pourquoi on emploie quasi-exclusivement les formules
associées aux stencils pour lesquels n est pair.
3. Aspects pratiques
Les formules de Newton-Cotes souffrent du même problèmes que les
polynômes d'interpolation sur points équidistants: une
mauvaise représentation de la fonction f(x) sur les bords du domaine.
En pratique, on utilise ainsi un stencil composé de peu de points
(par exemple 3, pour la formule de Simpson) et le calcul de l'integrale
de f(x) sur [x
0,x
m] est ramené
à la somme de celles, évaluées par la formule de
Simpson, calculées sur [x
0,x
2],
[x
2,x
4],...
3.1 Un exemple pour illuster le tout
Soit à déterminer l'intégrale de
f(x) = cos(pi.x).exp(x) sur [-1;1]:
f(x) étant connue, elle peut être évaluée
en n'importe quelle valeur de x, et donc n'importe quel
jeux de x
i sur lesquels utiliser les formules
de Newton-Cotes. En augmentant le nombre de points (et donc le nombre
de stencils associés à la méthode employée),
on tends vers la solution exacte, ainsi que l'illustre la figure suivante:
Où on retrouve les faits suivants:
- L'odre des méthodes est d'autant plus grand que le stencil
associé est de degré élevé
- Les méthodes de Simpson et "Newton-Cotes 3"
sont de même
ordre (c.f. remarque plus haut).
3.2 Autres commentaires et remarques
Lorsqu'il s'agit de calculer l'intégrale d'une fonction f(x)
connue (telle que celle de l'exemple ci-dessus), choisir les
x
i (et calculer les f(x
i)
correspondants) ne pose pas de problème particulier.
Il arrive toutefois souvent que l'on ne dispose pas de la forme
de la fonction f(x), par exemple lorsque les valeurs aux points
x
i sont issues d'un calcul numérique,
et que l'on ne puisse donc pas "raffiner" l'évaluation
de l'intégrale en augmentant le nombre de points;
la seule alternative repose alors sur
l'emploi de formules d'ordres plus élevé.
Se pose alors le problème pratique suivant:
le nombre de points (m+1) sur lequel calculer l'intégrale est
fixe, tout comme ceux des stencils associés aux diverses formules
de Newton-Cotes (par ex.: la formule de Boole-Villarceau, basée
sur un stencil de 5 points, ne peut s'appliquer que sur des
paquets de 5,9,11,... (c.-à-d.: 1+4.n, n=1,2,...) points).
On se trouve alors obligé d'ultiliser la formule choisie sur
autant de points que possible, puis d'utiliser une formule plus limitée
sur l'intervalle restant.