1. Le polynôme d'interpolation de Tchebychev
Connaissant les (N+1) valeurs nodales d'une fonction f(x) aux
points de collocation de Gauss, Gauss-Lobatto ou Gauss-Radau,
on peut construire le polynôme d'interpolation (de
degré N) f
N(x):
Où les coefficients spectraux c
k sont
complètement déterminés (voir
la page à ce sujet).
Connaissant les c
k, il est aisé de calculer
f
N(x) en n'importe quel x, par application de
la formule ci-dessus; calcul qui peut en outre être
optimisé en tenant compte des expressions et de la relation de recurrence
entre les polynômes de Tchebychev:
Les termes de la série se calculant dans l'ordre ascendant et en peu
d'opérations.
2. Convergence de l'approximation
Que le polynôme d'interpolation f
N(x)
soit basé sur les
points de collocation de Gauss, Gauss-Radau ou Gauss-Lobatto,
il y a convergence exponentielle de f
N(x) vers f(x).
2.1 Exemple
N.B.: Cet exemple est également traité du point de vue de
l'interpolation via
les
polynômes de Lagrange sur des points équidistants
Interpolation, sur l'intervalle [-1;1],
de la fonction suivante:
A l'aide de (N+1) points de Gauss, on obtient des polynômes
d'interpolation de degré N. Les écarts relatifs entre
ces polynômes d'interpolation et f(x), pour
N = 7, 10, 15 et 20, sont:
Ce qui illustre bien les propriés suivantes:
- La convergence extrêmement rapide du polynôme
d'interpolation vers la fonction.
- L'excellente uniformité, à N donné,
de l'écart à la solution
sur tout l'intervalle d'interpolation.
- L'absence de dégénérescence de l'approximation
avec la monté en degré du polynôme
d'interpolation.
Pour l'exemple ci-dessus, on voit bien que
pour N=15, l'écart à la solution est déjà de l'ordre
de l'epsilon machine et que cela reste le cas pour N=20.
Tous les commentaires ci-dessus résultent du (bon) choix des
points de collocation, indépendement du fait de considérer
le polynôme d'interpolation via les polynômes de Tchebychev.
2.2 Convergence des coefficients spectraux
Passons à présent à
ce qui fait tout l'intérêt de
l'approche qui consiste à considérer le
développement du polynôme d'interpolation en
terme d'une série des N premiers polynômes
de Tchebychev T
k(x) (respectivement pondérés par
les coefficients spectraux c
k).
En poursuivant l'approche par l'exemple ci-dessus, étudions
l'évolution de l'amplitude des coefficients spectraux en fonction
du degré du polynôme d'interpolation.
L'amplitude des coefficients spectraux c
k,
pour N=3, 7, 10, 15 et 20 est:
Ce qui illustre à merveille les comportements suivants:
- La convergence exponentielle de l'approximation (jusqu'ici
évoqué sans justifications).
Pour l'exemple ci-dessus elle apparait (c.-à-d.: elle se traduit par
l'évolution, proportionnelle à exp(-k),
de l'enveloppe des coefficients spectraux ck)
dès N = 5.
- La saturation des coefficients excédentaires
autour de l'epsilon machine, une fois ce plateau atteint.
- La bonne convergence des coefficients, une fois
ceux-ci inclus dans le
développement, vers une valeur asymptotique.
3. Aspects pratiques et autres commentaires
La (grande) majorité du temps, on ne dispose pas
de la fonction f(x) que l'on cherche à interpoler,
mais seulement d'un jeu de valeurs prise par celle-ci aux points
de collocation. Il est alors impossible d'évaluer formelement
l'erreur comise lors d'une procédure d'interpolation.
A ce stade, il est vivement conseillé de prendre le
temps de jeter un oeil au spectre des coefficients c
k;
d'une part pour se faire une idée de la qualité
de la représentation du signal, et d'autre part
par ce qu'il est souvent observé que, une fois le
régime de convergence exponentiel atteint, l'amplitude du
coefficient c
N (le dernier du développement)
est un bon indicateur de l'ordre de grandeur de l'écart
du polynôme d'interpolation à la fonction f(x).