Généralités

1. Polynômes orthogonaux et quadratures

Connaissant les valeurs prises par une fonction f(x) sur un jeu de (N+1) points de collocation x_i, on peut construire un polynôme d'interpolation de degré N: P_N(x). Disposant d'une base de polynômes orthogonaux B_k(x) (de degrés k), on peut développer P_N(x) sur celle-ci; c'est-à-dire comme une somme pondérée des B_k(x):
Où la notation (,) correspond à un produit scalaire discret entre les deux quantités concernées.
Sans rentrer dans les details, disons simplement que toute la difficulté de ce développement réside, une fois le jeu de polynômes orthogonaux choisi, dans l'évaluation des coefficients a_k. La détermination de ceux-ci se ramène en fait à l'évaluation d'une intégrale impliquant f(x) (généralement inconnue). le problème se réduit alors à celui de l'utilisation d'une quadrature (c.-à-d. de déterminer l'intégrale en tant que somme pondérée de f(x) aux points de collocation) aussi efficace que possible.
Le choix d'une quadrature optimale (telles que celles de Gauss, Gauss-Radau et Gauss-Lobatto qui seront présentés plus bas) impose l'utilisation de jeux de points de collocation bien précis.

2. Généralités et propriétés principales des polynômes de Tchebychev

Les polynômes de Tchebychev (de première espèce) T_k(x), sont tels que:
Les T_k(x) sont des polynômes de degrés k, liés par triplets par récurrence:
Ces polynômes sont, sur l'intervalle [-1;1] et vis-à-vis de la fonction poids w(x) = (1-x²)^-1/2, orthogonaux:

3. Quadratures et points de collocation associés aux polynômes de Tchebychev

Ayant choisi d'employer les polynômes de Tchebychev comme base de polynômes orthogonaux de travail, il reste à choisir la quadrature à employer (quadrature qui, rappelons le, fixera en conséquence les points de collocation à utiliser).
Les trois quadratures les plus optimales (plus à ce propos) sont:
La quadrature de Gauss, qui implique le jeu de points de collocation:

La quadrature de Gauss-Radau, qui implique le jeu de points de collocation:

La quadrature de Gauss-Lobatto, qui implique le jeu de points de collocation:

4. Représentation d'une fonction sur les polynômes de Tchebychev

Sur (N+1) points de collocation répartis sur l'intervalle [-1;1], le polynôme d'interpolation f_N(x) d'une fonction f(x) est: Où il est évident que (pour f_N(x) donné), les coefficients spectraux c_k sont fixés. Toute manipulation de f_N(x), en particulier des opérations de dérivation, intégration et interpolation numériques, se ramène à des manipulations des polynômes de Tchebychev T_k(x), dont les propriétés et particularités sont bien connues.
Connaissant les valeurs prises par f(x) aux points de collocation x_i, y_i = f(x_i), on voit que la relation ci-dessus peut s'écrire sous la forme d'un produit matrice vecteur: P.c = y, où c est le vecteur des coefficients spectraux c_k et P est la matrice de passage dont les éléments sont P_i,j = T_j(x_i).
En d'autres termes, connaissant les valeurs nodales y_i, on a accès aux coefficients spectraux c_i (par multiplication du vecteur y par l'inverse de P) et réciproquement.