Matrices de passage pour les points de collocation
de Gauss, Gauss-Radau et Gauss-Lobatto

Dans le cadre des polynômes de Tchebychev

1. Formules générales

Les éléments de la matrice de passage P et de son inverse P -1 sont tels que:
Expression générale des éléments des matrices de passage
Où les x i sont les points de collocation, les wi sont les poids et (,) N le produit scalaire discret de la quadrature considérée.
Pour un jeu de points de collocation donné, ces quantités sont aisément déterminées, en particulier en tirant parti de la relation:
Expression des polynômes de Tchebychev
pour construire les Pij, et du fait que le terme Ti(x j ), nécessaire pour construire l'élément Pij-1, est simplement Pji.

On peut toutefois déterminer les éléments des matrices de passage plus rapidement (et plus précisément, puisqu'avec un minimum d'opérations numériques intermédiaires) en insérant l'expression des points de collocation dans ces relations, puis en remaniant le tout à l'aide des identités trigonométriques usuelles.

2. Expression des éléments des matrices de passage

Les expressions des points de collocation et poids des quadratures sont données dans la page traitant de ce sujet.

2.1 Points de collocation de Gauss

Matrice de passage (de l'espace physique à l'espace spectral) P :
Procédure pour construire la matrice de passage (points de collocation de Gauss)
En d'autres termes, il faut construire un vecteur auxiliaire z, qui se résume en fait à un jeu de points de collocation de Gauss-Lobatto (basé sur 2N+3 points), puis d'en redistribuer les éléments.

Matrice de passage (de l'espace spectral à l'espace physique) P -1 :
Procédure pour construire l'inverse de la matrice de passage (points de collocation de Gauss)

2.2 Points de collocation de Gauss-Radau

Matrice de passage (de l'espace physique à l'espace spectral) P :
Procédure pour construire la matrice de passage (points de collocation de Gauss-Radau)
En d'autres termes, les éléments de la matrice sont simplement les points de collocation eux-mêmes, adéquatement redistribués.

Matrice de passage (de l'espace spectral à l'espace physique) P -1 :
Procédure pour construire l'inverse de la matrice de passage (points de collocation de Gauss-Radau)

2.1 Points de collocation de Gauss-Lobatto

Matrice de passage (de l'espace physique à l'espace spectral) P :
Procédure pour construire la matrice de passage (points de collocation de Gauss-Lobatto)
Comme dans le cas des points de Gauss-Radau, les éléments de la matrice sont les points de collocation, adéquatement redistribués.

Matrice de passage (de l'espace spectral à l'espace physique) P -1 :
Procédure pour construire l'inverse de la matrice de passage (points de collocation de Gauss-Lobatto)

 Liens connexes: Généralités sur les polynômes de Tchebychev
Les quadratures de Gauss & co. associées aux polynômes de Tchebychev
Dernière mise à jour: 06/01/05
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