Quadratures de Gauss, Gauss-Radau et Gauss-Lobatto

Associées aux polynômes de Tchebychev

1. Quelques mots sur la quadrature

La décomposition d'une fonction sur des polynômes orthogonaux demande d'évaluer des produits scalaires. Ces produits prennent la forme d'intégrales d'une fonction f(x) (qui n'est a priori connue qu'au travers des valeurs qu'elle prend en N+1 points) par une fonction poids w(x) connue.
On sait par ailleurs évaluer, de manière exacte, une telle intégrale, à condition que f(x) soit un polynôme de degré au plus égal à N (ainsi que relaté dans la page consacrée à l'intégration numérique), et ceci quel que soient les abscisses x i employées. Partant de ce constat, on peut se demander si il n'existe pas quelques jeux de points particuliers sur lesquels l'évaluation numérique de l'intégrale soit exacte pour des polynômes de degré supérieur à N. Une telle optimisation est effectivement possible; c'est la quadrature de Gauss décrite ci-dessous.

2. Poids des quadratures et points de collocation associés

Le but de la manœuvre est de déterminer les abscisses x i et poids w i tels que la relation
Formulation de la quadrature
soit exacte lorsque f(x) est un polynôme de degré le plus élevé possible.

Remarque:

La quadrature la plus performante est celle de Gauss: sur le jeu de points de collocation associé, la somme pondérée est exacte (c.-à-d. égale à l'intégrale) pour des polynômes de degré allant jusqu'à 2N+1. Il en existe deux autres, les quadratures de Gauss-Radau et Gauss-Lobatto, qui, bien que techniquement légèrement inférieures, sont également particulièrement utiles.

2.1. Quadrature de Gauss

En décomposition Tchebychev, la quadrature de Gauss, exacte pour des polynômes de degré 2N+1 ou moins, impose que les points de collocation soient les zéros de TN+1(x). Ces points sont:
Points de collocation de Gauss
Et les poids de cette quadrature sont alors:
Poids de la quadrature de Gauss

2.2. Quadrature de Gauss-Radau

En décomposition Tchebychev, la quadrature de Gauss-Radau, exacte pour des polynômes de degré 2N ou moins, impose que les points de collocation soient les zéros de TN+1(x) - TN(x). Ce qui implique les abscisses:
Points de collocation de Gauss-Radau
Et les poids associés à cette quadrature sont alors:
Poids de la quadrature de Gauss-Radau

Remarque:

2.3. Quadrature de Gauss-Lobatto

En décomposition Tchebychev, la quadrature de Gauss-Lobatto, exacte pour des polynômes de degré 2N-1 ou moins, impose que les points de collocation soient les zéros de (1-x 2).T (1)N(x) (T (1)N désignant, évidemment, la dérivée première de TN(x)). Ces points ont pour abscisses:
Points de collocation de Gauss-Lobatto
Et les poids de cette quadrature sont alors:
Poids de la quadrature de Gauss-Lobatto

 Liens connexes: Généralités sur les polynômes de Tchebychev
Méthode et formules pour réaliser une intégration numérique
Dernière mise à jour: 03/02/05
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