Dérivation sur des points de collocation équidistants

Matrices de dérivation

1. Brève introduction

Connaissant les (n+1) valeurs y i = f(x i) prises par une fonction (généralement inconnue) aux points de collocation x i, on souhaite évaluer les dérivées de cette fonction en ces mêmes x i.
A l'aide du polynôme d'interpolation de Lagrange, construit sur les x i, on peut obtenir les y i(d) (c.-à-d. les valeurs de la dième dérivée aux points de collocation); ce qui s'écrit sous la forme du produit matrice vecteur: D n(d)×y(d) = yy(d) et y sont les vecteurs contenant les y i(d) et y i et D n(d) est la matrice de dérivation dième (lien vers la page traitant de ce sujet).
Dans le cas de points de collocation équidistants x i = x 0 + i.h, ces matrices de dérivation ne dépendent plus que de h, le pas (la taille de l'intervalle) entre points successifs.

2. Expressions des matrices de dérivation première et seconde pour n=2

En substituant x i = x 0 + i.h dans les expressions générales des matrices de dérivation correspondantes, on obtient les expressions de D 2(1) et D 2(2) suivantes:
Matrice de dérivation première (sur 3 points équidistants) Matrice de dérivation seconde (sur 3 points équidistants)

3. Expressions des matrices de dérivation première et seconde pour n=3

Après substitution, la matrice de dérivation première D 3(1) est:
Matrice de dérivation première (sur 4 points équidistants)

et la dérivée seconde D 3(2):
Matrice de dérivation seconde (sur 4 points équidistants)

4. Expressions des matrices de dérivation première et seconde pour n=4

Pour 5 points, on obtient D 4(1):
Matrice de dérivation première (sur 5 points équidistants)

et D 4(2):
Matrice de dérivation seconde (sur 5 points équidistants)

Petit formulaire (fichier PDF, 4 pages, 44k) comprenant l'expression de ces matrices.

 Liens connexes: Dérivation sur un jeu de points quelconque: Formules et expressions des matrices de dérivation
Dernière mise à jour: 16/12/04
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