Matrices de dérivation
1. Brève introduction
Connaissant les (n+1) valeurs y
i = f(x
i)
prises par une fonction (généralement inconnue)
aux points de collocation x
i, on souhaite
évaluer les dérivées de cette fonction en ces mêmes
x
i.
A l'aide du polynôme d'interpolation de Lagrange, construit sur
les x
i, on peut obtenir les y
i(d)
(c.-à-d. les valeurs de la d
ième dérivée
aux points de collocation); ce qui s'écrit
sous la forme du produit matrice vecteur:
D n(d)×
y(d)
=
y où
y(d) et
y sont les
vecteurs contenant les y
i(d) et
y
i et
D n(d) est la matrice
de dérivation d
ième
(
lien vers la page traitant de ce sujet).
Dans le cas de points de collocation
équidistants
x
i = x
0 + i.h,
ces matrices de dérivation ne dépendent plus que de h,
le pas (la taille de l'intervalle) entre points successifs.
2. Expressions des matrices de dérivation
première et seconde pour n=2
En substituant x
i = x
0 + i.h
dans les expressions générales des
matrices de dérivation correspondantes, on obtient
les expressions de
D 2(1) et
D 2(2) suivantes:
3. Expressions des matrices de dérivation
première et seconde pour n=3
Après substitution, la matrice de dérivation première
D 3(1) est:
et la dérivée seconde
D 3(2):
4. Expressions des matrices de dérivation
première et seconde pour n=4
Pour 5 points, on obtient
D 4(1):
et
D 4(2):
Petit formulaire
(fichier PDF, 4 pages, 44k) comprenant
l'expression de ces matrices.