Polynômes de Lagrange
1. En bref
On peut utiliser (n+1) valeurs y
i = f(x
i)
d'une fonction f(x) pour
construire un polynôme (de degré n) P(x).
Connaissant P(x), sensé bien représenter f(x) sur
l'intervalle considéré, on a accès, par
les dérivées de P(x), a celles de f(x).
2. Expressions des dérivées
Partant de l'expression du Polynôme d'interpolation
de Lagrange P
n(x)
aux points de collocation (les x
i):
La dérivée première est:
Et la dérivée seconde:
3. Valeurs des dérivées
aux points de collocation
Les expressions ci-dessus, très lourdes à manipuler,
s'avèrent utiles pour évaluer les
valeurs des dérivées aux points de collocation
x
i.
Les y
i(d) =
P
n(d)(x
i)
s'expriment ainsi comme combinaisons linéaires des
y
i. Ce système peut donc s'écrire
sous la forme d'un produit matrice vecteur:
D n(d)×
y
=
y(d) où
y(d) et
y sont les
vecteurs contenant les y
i(d) et
y
i et
D n(d) est la matrice
de dérivation (d)
ème dont les éléments
sont: D
i,j(d) =
L
j(d)(x
i).
Ainsi, sur 3 points (donc pour n=2), la matrice de
dérivation première
D 2(1) est:
et la matrice de dérivation seconde
D 2(2) est:
Remarques:
- La dérivation d'un polynôme étant
degré réductrice, les éléments
de chaque colonne de D n(n)
sont égaux (puisque les
L j(n)(x)
sont de degré n - n = 0). De même,
pour p>n, les matrices
D n(p) sont nulles.
- Ces matrices de dérivation sont les éléments
de base qui serviront à construire les opérateurs
associés à la résolution numérique
d'équation différentielles par la
méthode
des différences finies.
- Ces matrices, construites pour un jeu de points de collocation
quelconque, s'appliquent aussi au cas de points
équirépartis et permettent aisément de
retrouver les formules relatives à ces derniers.
4. Expressions des matrices de dérivation
première et seconde pour n=3
Après quelques calculs, on arrive à
l'expression suivante pour
D 3(1):
Et la matrice de dérivation seconde
D 3(2) est donnée par:
5. Expressions des matrices de dérivation
première et seconde pour n=4
On obtient, pour
D 4(1):
Et pour
D 4(2):
Petit formulaire
(fichier PDF, 4 pages, 44k) comprenant
l'expression de ces matrices.