Dérivation sur des points de collocation équidistants

Stencils de dérivation

1. Contexte

On s'intéresse ici à un ensemble de points de collocation équidistants. On cherche à exprimer les valeurs des dérivées successives de la fonction f(x) au point de collocation x i en fonction des valeurs de f(x) aux points de collocation voisins.
On peut évidement procéder en construisant le polynôme d'interpolation passant par les points de collocation, comme décrit dans les pages sur les polynômes de Lagrange et les matrices de dérivations sur des points équidistants. Si, par contre, on ne s'intéresse qu'à l'expression des dérivés au point milieu d'un ensemble (stentil) de points, il est plus simple d'utiliser la méthode ci-dessous.

2. Stencils de dérivations successives

2.1. Principes de la méthode

Il suffit de considérer le développement de Taylor à l'ordre p:
développement de Taylor à l ordre p

En utilisant cette formule pour a = -p.h, ..., -h, h, ..., p.h, on obtient alors un système linéaire reliant les valeurs de f(x) et ses dérivées successives en fonction des 2p valeurs entourant x:
systeme linéaire résultant des développements de Taylor à l ordre p

La résolution (inversion) de ce système de 2p équations à 2p inconnues permet alors d'obtenir les stencils de dérivation (c.-à-d.: les relations donnant la valeur de la dérivée kème au point milieu f (k)(x) en fonction des valeurs nodales sur l'ensemble des (2p+1) points.

Dans ce qui suit, on note f k les valeurs de f(x) aux 2p+1 points de collocation répartis autour de x i et espacés d'un pas h, c.-à-d. d'abscisses x k = x i + k.h , avec k = -p, ..., -1, 0, 1, ..., p.

2.2. Stencils de dérivation à l'ordre 2

Pour p =1, les développements de Taylor à l'ordre 2 donnent les 2 équations:
systeme linéaire résultant des développements de Taylor à l ordre 2

Qui permettent de relier les valeurs des dérivés première f (1)i et seconde f (2)i au point x i, en fonction des valeurs nodales consécutives f i-1, f i et f i+1.
On obtient ainsi les stencils de dérivation (centrée) d'ordre 2 suivant:
stencils de dérivation (centrée) à l ordre 2

2.3. Stencils de dérivation à l'ordre 4

Les développements de Taylor à l'ordre 4 s'écrivent:
systeme linéaire résultant des développements de Taylor à l ordre 4

La résolution de ce système donne les stencils de dérivation suivants:
stencils de dérivation (centrée) à l ordre 4

3. Quelques remarques et commentaires


 Liens connexes: Dérivation des polynômes d'interpolation de Lagrange et expressions des matrices de dérivation associées
Dérivation sur un jeu de points equidistants: Formules et expressions des matrices de dérivation
Dernière mise à jour: 26/04/06
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