Exemple: Utilisation des différences finies d'ordre 4

1. Problème traité

Soit à résoudre l'équation différentielle:
Et ce, dans le cadre des trois jeux de conditions aux limites, de type Dirichlet (D), Neumann (N) ou mixtes (M):
Afin d'illustrer la procédure générale, on se focalise ici sur la résolution du problème sur 8 points de collocation x _i équirépartis sur l'intervalle (jeu de points identique à celui utilisé pour traiter cet exemple à l'ordre 2).
En clair, on aura ici x ₀ = x _A = -1 , x ₇ = x _B = +1  et conséquemment x _i = x ₀ + i.h (pour i = 0,...,7), avec h = (x _B - x _A) / 7 = 2 / 7.

2. Discrétisation de l'équation différentielle

2.1. Utilisation des stencils pour construire les matrices de dérivation étendues

Sur cinq points équidistants (espacés d'un pas h), les matrices de dérivation liant les valeurs nodales consécutives {y _i-2, y _i-1, y _i, y _i+1, y _i+2} et leurs dérivées nodales (première et seconde) sont: Et
Ces stencils de base vont servir à construire les matrices de dérivation étendues d ₄⁽¹⁾ et d ₄⁽²⁾.
Plus spécifiquement, les deux premières (et dernières) lignes de D ₄⁽¹⁾ et D ₄⁽²⁾ serviront à construire celles de d ₄⁽¹⁾ et d ₄⁽²⁾, tandis que les lignes médianes fourniront les approximations centrées relatives à y ₂ ,...,y ₅.
On obtient ainsi la matrice de dérivation (première) étendue d ₄⁽¹⁾:
et la matrice de dérivation (seconde) étendue d ₄⁽²⁾:

2.2. Construction de l'opérateur différentiel L

Les éléments de l'opérateur différentiel se résument ici à:
L _ij = d_4 ij⁽²⁾ + 2 d_4 ij⁽¹⁾ - 3 d _ij⁽⁰⁾
Où, pour mémoire, d⁽⁰⁾ n'est rien d'autre que la matrice identité.
Au final, la version discrétisée de l'équation différentielle L.y = S est donc:

3. Prise en compte des conditions aux limites

Imposer les conditions aux limites du problème aux noeuds x ₀ et x ₇ impose de réécrire les première et dernière lignes du système discrédisé.

3.1. Conditions aux limites de type Dirichlet

Les valeurs nodales y ₀ = y(x _A) = Y_A et y ₇ = y(x _B) = Y_B sont connues, ce qui permet de réécrire le système reduit aux seules valeurs nodales inconnues:

3.2. Conditions aux limites de type Neumann

Seules les valeurs des dérivées aux frontières sont connues: y'(x _A) = Y'_A et y'(x _B) = Y'_B.
D'après D ₄⁽¹⁾, appliqué au (sous-)vecteurs [y ₀, y ₁, y ₂, y ₃, y ₄] et [y ₃, y ₄, y ₅, y ₆, y ₇], on déduit les relations à satisfaire aux frontières:
Et le système linéaire devient donc:

3.3. Conditions aux limites mixtes

On dispose des relations aux frontières: C _A y(x _A) + y'(x _A) = K _A et C _B y(x _B) + y'(x _B) = K _B , où C _A, K _A, C _B et K _B sont des constantes connues. En utilisant (comme pour le cas Neumann décrit ci-dessus) D ₄⁽¹⁾ pour exprimer les valeurs de y' ₀ et y' ₇ en fonction des valeurs nodales voisines, on obtient les relations:
Et le système linéaire devient alors:

4. Remarques et autres compléments

• Document récapitulatif (fichier PDF,5 pages, 53k) de cet exemple, incluant la procédure pour un traitement du problème à l'ordre 2.
• Les systèmes linéaires obtenus sont quasi-pentadiagonaux: Pour des conditions aux limites de type Dirichlet, les première et dernière lignes contiennent quatre termes, pour des conditions aux limites de type Neumann et mixte, ce sont cette fois les deux premières et deux dernières lignes qui contiennent quatre termes. On peut facilement ramener les systèmes linéaires à une forme pentadiagonale (en particulier si l'on souhaite utiliser un solver spécifique à ce type de systèmes) en se débarassant des termes offensants par élimination Gaussienne.
• L'extension de ces procédures à un nombre plus important de points de collocation est immédiate.
• La discrétisation (et résolution) du problème pour des jeux de points de collocation non-équidistants suit exactement le même chemin, le seul petit travail supplémentaire concerne l'emploi de stencils (et matrices de dérivations correspondantes) variant celon la valeur nodale autour de laquelle on les applique.